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Ahora resumamos lo que se ha visto hasta ahora:
A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. Los elementos del último conjunto se le llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones compuestas del tipo (p ^ q)v r.
El valor de verdad que se asigna a una proposición compuesta suponemos que se asigna de acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores.
Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad
Se puede conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene conectivos, determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden, debajo de la proposición p. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^,-->, <--> se verán a continuación.
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Esta tabla nos hace recordar la definición que vimos anteriormente de la negación, que dice: si el valor de verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es verdadero.
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En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p v q es verdadero; en otro caso p v q es falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.
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Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción:
Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente si cada componente es verdadero.
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De la tabla anterior se abserva que el condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.
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De la anterior tabla se puede observar que:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q es verdadero; si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso.
Las tablas de verdad anteriores son las que se necesitan para deducir el valor de verdad de cualquier proposición por complicada que sea. A las tablas de verdad deducidas a partir de ellas se les llama tablas de verdad deducidas
Ilustremos esto con el siguiente ejemplo:
Calculemos la tabla de verdad de la proposición ~p v q. Como se indica en la tabla que veremos a continuación, para construir dicha tabla, debemos empezar con todas las posibles combinaciones de valores de verdad de p que se deducen de la primera columna, podemos escribir la columna dos en la cuarta columna, finalmente aplicamos la definición de la disyunción para ~p v q. Esto lo verificamos con la siguiente tabla:
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Nota:
De la tabla anterior podemos observar lo siguiente:Si comparamos las columnas primera y segunda con los de la cuarta columna, es decir los valores de verdad de p y q con los valores de verdad de ~p v q, observamos que ~p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa. Esto nos hace recordar los valores de la proposición condicional p <--> q, veremos mas tarde la relación que existe entre éstas dos proposiciones.
Antes de continuar construyendo tablas de verdad mas complejas, es necesario dar una regla para la construcción de dichas tablas:
Regla:Si tenemos dos proposiciones, como en todos los casos anteriores que hemos visto, necesitaremos cuatro filas. De estas cuatro filas la primera columna tendrá los valores de verdad: V,V, y F,F, y la segunda columna V,F,V y F. Las siguientes columnas tendrán los valores de verdad según la proposición dada.
Si se tienen tres proposiciones, necesitaremos ocho filas, de las cuales la primera columna se acomodarán los valores de verdad de la siguiente manera: V,V,V,V y F,F,F,F. Para la segunda columna se reparten los valores: V,V, F,F, V,V, F,F. Y para la tercera columna seran: V,F,V,F,V,F,V,F.
Para cuatro proposiciones, se necesitan 16 filas de las cuales en la primera columna se reparten los valores de verdad: 8 V y 8 F. La segunda columna empezará con cuatro V, despues cuatro F, y así sucesivamente hasta ocupar los 16 lugares, es decir, V,V,V,V F,F,F,F V,V,V,V y F,F,F,F. Para la tercera columna: V,V, F,F...hasta la fila número 16.
En general:
Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro filas..o visto de otra manera: se necesitan 22 = 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o, 23 = 8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas...en general para n proposiciones necesitaremos 2n filas.
Ilustremos todo esto con un ejemplo, construyamos la tabla de verdad para la proposición compuesta: [(p v q) ^ r ] --> ~q ^ p.
Este el caso para tres proposiciones:p, q y r, en donde según vimos anteriormente necesitamos ocho filas. En la primera columna irán repartidos los valores: V,V,V,V y F,F,F,F, para la segunda columna: V,V, F,F, V,V, F,F, y para la tercera columna: V,F,V,F,V,F,V,F.
Se observa que la proposición compuesta [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p a fín de cuentas es una condicional p --> q, donde digamoslo así p = [(p v q ^ r)] y q = ~q ^ p. Por tanto lo que nos interesa al final son los valores de verdad de la condicional -->.
Debemos encontrar los valores para la proposición [(pvq) ^ r ], donde observamos que esta proposición es una conjunción p ^ q, donde p = p v q y q = r, (conste que hago estas igualdades para que se te haga mas claro). Para esto encontraremos el valor de verdad de la disyunción p v q ,donde los valores de ésta se deducen de las columnas primera y segunda, los valores de esta disyunción las colocaremos en la cuarta columna. Ahora encontraremos los valores de verdad de la conjunción [(p v q) ^ r] de la cual los valores los podemos deducir de las columnas tercera y cuarta, dichos valores los colocamos en la quinta columna.
Ahora nos hace falta encontrar los valores de verdad de la proposición ~q ^ p, la cual evidentemente se trata de una conjunción, para esto se necesita encontrar los valores de ~q los cuales se deducen de la columna dos aplicando la ley de la negación: si q es V entonces ~q es F, si q es F entonces ~q es V..etc., a estos valores los colocamos en la columna número seis, y ahora hayamos los valores de la conjunción ~q ^ p, estos se deducen de las columnas primera y sexta, valores que colocamos en la séptima columna. Finalmente encontramos los valores de la implicación [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p de donde ahora se pueden deducir con claridad de las columnas quinta y séptima, a estos valores los colocamos en la octava y última columna.
La tabla de dicha proposición es la siguiente:
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En la siguiente sección veremos algunos ejercicios con respecto a los valores de las tablas de verdad de algunas proposiciones, al igual que en la seccion anterior de ejercicios, cada ejercicio viene con su respuesta.